Кооперативная теория игр, или как разделить доходы и расходы участников совместной деятельности

В нынешние темные времена поговорим о кооперации. Многим кажется, что теория игр работает только в «экономике конфликта», но это не так. Различные интересы возникают и при совместной деятельности. Например, при решении вопроса о разделении полученной совместно прибыли или понесенных совместно издержках.

Представим себе ситуацию, что в коттеджном поселке 5 владельцев домов планируют построить дорогу общей стоимостью 600 тыс. руб. от шоссе до своих участков, находящихся друг за другом на расстоянии 50, 100, 150, 200 и 250 м от шоссе соответственно (схема представлена на рисунке). Необходимо распределить стоимость дороги между всеми домовладельцами так, чтобы никакой их группе не было бы выгодно отделиться и построить дорогу самостоятельно.

Стоимость участков дороги пропорциональна их длине, все участки одинаковы, однако собрать со всех поровну было бы несправедливо. Что в такой ситуации на общем собрании должен бы был предложить «умный» пятый? Он мог бы сказать: «Я понимаю, что вы посчитаете несправедливым, если каждый заплатит по 120 тыс. Я живу в 5 раз дальше, чем первый, поэтому я должен заплатить впятеро больше. Мне тяжело, но это будет по-честному». Решив уравнение x+2x+3x+4x+5x = 600 и получив x=40, легко найти распределение выплат: 40, 80, 120, 160 и 200 тыс. руб. И в такой расклад многие могли бы поверить.

Но в чем хитрость последнего? Если хорошо подумать, несложно обнаружить, что за последний участок, который нужен только пятому, тот переплачивает всего 40 тыс. руб., хотя стоимость участка составляет 120. И, наверное, это неправильно! Так что же является верным решением задачи?

Первый участок нужен всем, поэтому его стоимость распределяется между всеми собственниками, которые заплатят по 120/5=24 тыс. руб. Второй нужен всем, кроме первого – по 120/4=30, третий – всем, кроме первых двух – по 120/3=40, четвертый – последним двум, по 120/2=60, за последний участок платит исключительно пятый. Таким образом, итоговые взносы составят

M1 = 24 тыс. руб.,
M2 = 24+30 = 54 тыс. руб.,
M3 = 24+30+40 = 94 тыс. руб.,
M4 = 24+30+40+60 = 154 тыс. руб.,
M5 = 24+30+40+60+120 = 274 тыс. руб.

Именно поэтому можно назвать последнего «умным». При предложенной выше «убедительной» схеме четверо существенно переплачивают, а «умный» последний экономит 74 тыс. руб.

Честный расклад по распределению прибылей или издержек любого коллектива был предложен и обоснован Ллойдом Шепли, носит его имя и используется как при решении житейских задач, подобных приведенной выше, так и при анализе вкладов авиакомпаний в строительство взлетной полосы или распределения прибыли между объединившимися бизнесменами в зависимости от вклада каждого (заметим, кстати, что синергетический эффект может быть не обязательно пропорционален вложенным средствам).

Больше на эту тему можно узнать из прикреплённого видео с лекцией автора заметки.