Математическая пицца. Часть 1.
Математическая пицца. Часть 1.
(Тут могло бы быть долгое вступление о том, какая пицца замечательная, и как все ее любят, и как я ее люблю, и все такое прочее, но его не будет).
Итак, у нас есть вкусный круг, традиционно разрезанный на 8 треугольных кусочков. Но при попытке взять один из них, центральный уголок прогибается, и начинка падает с кусочка [опасный момент на картинке 1]. Ах ты, гравитация, бессердечная ты сука!
Интуитивно мы понимаем, что нужно согнуть кусочек внешними уголками вверх – и центральный угол перестанет проваливаться. Правда, это произойдет только в случае, если в центре пиццы тесто идеально, оно не размокло, и остается похожим по свойствам на бумажный лист: гнется, но не растягивается.
Этому свойству пиццы есть замечательное математическое объяснение. И это не просто мои слова. Сам Карл Фридрих Гаусс в своей работе «Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas» (Общее исследование искривленных поверхностей, 1827) написал: «Formula itaque art. praec. sponte perducit ad egregium theorema», что в переводе с латинского означает: «Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему». Слово «egregium» с латинского языка можно перевести как прекрасный, совершенный, выдающийся, исключительный, экстраординарный, замечательный или удивительный.
Сама Theorema Egregium, или Замечательная теорема, звучит так:
Если криволинейную поверхность развернуть на любую другую поверхность, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной.
Согласна, из определения вообще ничего не понятно. Но мы справимся и разберемся.
Мера кривизны, она же Гауссова кривизна, для поверхности рассчитывается следующим образом:
С = 1/r1 * 1/r2 = (r1 * r2) ^-1 – простите за коряво написанную формулу, корячусь как могу. / делить, * умножать, ^ возводить в степень.
Здесь r1 и r2 – главные радиусы кривизны поверхности.
Чтобы их найти, нужно пересечь поверхность двумя взаимноперпендикулярными плоскостями, расположенными так, чтобы радиусы кривизны линий пересечения r1 и r2 были максимальными из всех возможных. В аттаче картинка [2] со сферой и цилиндром – там всё наглядно.
Для сферы, как ни крути, максимальные кривизны получаются при расположении плоскостей так, чтобы они проходили через центр сферы. При этом r1 = r2 = радиусу R, и гауссова кривизна сферы
C (сферы) = 1/R * 1/R = 1/(R^2)
Эта информация к пицце никак не относится, просто удачный наглядный пример расчета гауссовой кривизны.
Для цилиндрической плоскости первую секущую плоскость проводим перпендикулярно оси цилиндра, тогда r1 = радиус цилиндра R. Вторая же секущая плоскость является касательной к поверхности цилиндра и r2=∞.
Кривизна C (цилиндра) = 1/r1 * 1/∞ = 1/r1 * 0 = 0.
И мы получили, что гауссова кривизна цилиндра равна нулю.
Теперь представим, что мы рассчитываем гауссову кривизну для плоской поверхности, просто листа бумаги. Проводим плоскости, одна перпендикулярна нашей поверхности, вторая с ней совпадает, r1 = 0, r2 = ∞, получаем гауссову кривизну плоско лежащей пиццы
C (плоскости) = 1/∞ = 0.
На следующей картинке [3] мы видим некую седловидную поверхность, для которой проведены секущие плоскости и красными линиями отмечены радиусы сечения r1 и r2. Видно, что одна кривая сечения развернута вниз, вторая вверх, поэтому r1 и r2 будут иметь разные знаки: один будет положительным, второй отрицательным.
Тогда в формуле
С (седла) = 1/r1 * 1/r2
в одном из знаменателей будет отрицательное число, следовательно произведение будет отрицательным числом (плюс на минус даёт минус), итого – гауссова кривизна седловидной поверхности отрицательна.
И вот теперь возвращаемся к пицце. Так как наше тесто не растягивается, при сгибании кусочка получается цилиндрическая поверхность. Согласно Замечательной теореме, мы сворачиваем плоский кусочек пиццы в цилиндр – и гауссова кривизна остается неизменной.
В целом, из этой теоремы следует, что если у поверхности есть плоская развертка (ее можно свернуть из листа бумаги – например, цилиндр и конус), то ее гауссова кривизна будет равна нулю.
Если при подъеме внешних уголков куска пиццы вверх центральный угол опустится – мы получим седловидную поверхность [картинка 4]. Серия несложных экспериментов с листом бумаги и куском пиццы легко покажут, что это возможно только в случае деформации теста. Но наше идеальное тесто не деформируется.
С математической точки зрения, если бы была возможной развертки плоского куска пиццы на седловидную поверхность, то гауссова кривизна этого кусочка изменилась бы с нулевой на отрицательную. Но это противоречит Замечательной теореме Гаусса, а значит, это невозможно.
Итак, мы математически доказали, что при сгибании куска хорошей пиццы внешними уголками вверх, центральный угол не опустится, и начинка с него не упадет.
Кстати, делитесь, какую пиццу любите и где заказываете. И достаточно ли замечательно ее тесто, чтобы к ней была применима Замечательная теорема Гаусса.
Основной источник: Книга «Математическая составляющая» изд. Математические этюды, 2019
