Математическая пицца. Часть 3.
Пиццей делиться не особо хочется. Но иногда приходится.
Легко это сделать, если вас 2, 4 или 8 человек. Ну или любое другое число, представляющее собой степень двойки. Режем пиццу через центр на равные сектора – и готово.
Но что, если вас трое? Или пятеро? Как поделить поровну?
Можно ли с помощью подручных материалов поделить пиццу на количество ровных кусков, не соответствующее степени 2?
Сообразим на троих.
Находим центр пиццы, называем его О. Мысленно проводим через него линию, и точки пересечения с окружностью называем A и B.
Берем циркуль. Если у вас нет гигантского циркуля размером с пиццу (а если пицца маленькая, то ее вообще не надо делить) – можно взять веревочку, длина которой равна радиусу пиццы R. И из точки А строим окружность радиуса R. Точки пересечения этой окружности с бортиками пиццы обзываем C и D. Теперь разрезаем пиццу по линиям OA, OC и OD и наслаждаемся равенством.
А если поедателей пиццы пятеро? Это тоже не проблема.
Гуглим/Яндексим/открываем учебник по геометрии и делаем всё по инструкции. Не самой простой, но всё же.
Сложно? Тогда зовем шестого товарища на помощь, потому что на 6 частей делить гораздо легче.
Пока мы мерили и размечали, явился седьмой претендент на пиццу. Чертыхаемся и начинаем заново, благо интернет полон мануалами.
А вообще, на сколько одинаковых частей можно поделить пиццу с помощью подручных материалов? Или, выражаясь научно, правильный многоугольник с каким количеством углов можно вписать в окружность при помощи циркуля и линейки?
Задавшись этим вопросом, мы поймем, что, похоже, главным ученым-пиццеедом был-таки Гаусс. Я уже рассказывала, как его Замечательная теорема доказывает, что у куска хорошей пиццы, взятого со слегка поднятыми вверх уголками, серединка не провиснет.
В 1796 году вышла статья Гаусса, в которой он писал:
«Всякому начинающему геометру известно, что можно геометрически (т. е. циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятнадцатиугольник и те, которые получаются из каждого из них путём последовательного удвоения числа его сторон. Это было известно во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено убеждение, что дальше область элементарной геометрии не распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки распространить её в эту сторону. Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие, что, кроме этих правильных многоугольников, может быть геометрически построено множество других, например, семнадцатиугольник.
<…>
Хотя границы нашего сочинения не позволяют провести этого доказательства, мы думаем, что надо всё же на это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать ещё других случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией, например, не надеялся бы свести на геометрические построения деление окружности на 7, 11, 13, 19, . . . частей и не тратил бы зря своего времени.»
Гаусс заявил, что правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда, когда n есть произведение степени двойки и различных простых чисел Ферма.
Что такое числа Ферма? Это числа, подчиненные правилу: Fn = 2^2^n+1, где n>=0
При n=0, 1, 2, 3, 4 числа Ферма простые, и равны соответственно 3, 5, 17, 257, 65537.
При увеличении числа n числа Ферма становятся составными, и неизвестно, существуют ли простые числа Ферма при бОльших значениях n.
Итак, с помощью циркуля и линейки можно точно построить вписанные в окружность 3, 4 (то есть 2^2), 5, 6 (то есть 2*3), 8 (=2^2^2), 10 (2*5), 12 (=2^2 * 3), 15 (=3*5), 16 (=2^2^2^2), 17, 20 (=2^2 * 5) -итакдалееугольники, таким образом поделив окружность на соответствующее количество равных частей, а пиццу – на равные секторы.
А в 1837 году Пьер Лоран Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.
(Ванцель вообще был мастером доказывать, что ничего не получится. В частности, он прославился доказательством неразрешимости древних задач удвоения куба и трисекции угла).
В этом месте наш седьмой товарищ давится своим куском пиццы. Мы же только что легко нашли инструкцию по делению пиццы на 7 секторов! Мы опровергли теорему Гаусса-Ванцеля! Бегом писать статьи и публиковаться!
Но увы, научного прорыва на самом деле не произошло. Дело в том, что с использованием циркуля и линейки мы можем построить вписанный в окружность семиугольник только приблизительно, с точностью около 0.2%. На практике такая погрешность обычно допустима (вряд ли кто-то затеет серьезную ссору из-за 2 граммов из килограммовой пиццы), но формаааально…. В общем, вы представляете, какими занудными бывают те, кто работает с цифрами.
Чтобы их успокоить, пообещайте в следующий раз доверить им нарезку пиццы, только попросите сделать это не по-дилетантски, секторами, а по одной из предложенных схем, где кривые линии делят круг на равные по площади сложные геометрические фигуры. Ну или просто налейте им утешительную порцию любимого напитка для успокоения нервов и снижения уровня занудства.
Приятного аппетита и вкусной вам пиццы!
