Матрицы в естественной среде обитания
Следуй за белым кроликом, Котео.
О мой юный исследователь математики, ты добился очень многого. Ты изучил премудрости арифметики. Честно (или не очень) прорешивал многочисленные задачи по геометрии, погружаясь в мир аксиом, теорем и следствий. Использовал огромное многообразие математических премудростей для решения задач по физике, получая решения как в скалярном, так и в векторном виде.
Не замечал ли ты каких-либо странностей в своем покорении Олимпа? Уравнения очень часто сходились к похожим системам. Системы уравнений, в свою очередь, решались набором простых, но утомляющих своей схожестью действий. Раз за разом нужно было выводить одно неизвестное через другие.
А геометрия? Столько слов, столько объяснений для нахождения двух координат (одной точки на плоскости) исходя из заданных нескольких других координат? Разве нельзя столь математическую область знаний, как геометрия, описать на языке математики, не прибегая к многословному описанию связей между объектами?
Разве не доносились до тебя отголоски физических явлений, выходящих за рамки заданных тебе моделей? Как скорость изменяется в направлении, не соответствующем направлению внешних сил? Как система требует наличия объектов, не являющихся числами, но влияющих на уравнение состояния?
Во всех этих случаях речь идет об матрицах, об объектах, подчиняющихся многим правилам поведения из мира чисел, но имеющим некоторые свои уникальные свойства, которые используются для упрощения и поиска решения задач, оказавшихся слишком сложными для простых моделей.
Матрица – упорядоченная запись некоторого количества элементов. В таком виде можно записывать системы уравнений в одну строчку. Это может показаться не важным, когда речь идет о системах из двух или трех уравнений. Их можно решить и вручную. Однако, когда речь заходит о системе из сотен и тысяч уравнений (а именно такие порядки возникают нейросетках и схожих с ними вычислениях), без матричной записи уже никуда не деться. Более того, матричный вид не только сокращает саму запись, но и обладает рядом уникальных свойств, позволяющих сократить количество одинаковых вычислений, а то и вовсе решить задачу универсальным способом, не зависящим от конкретного вида матрица. То есть запрограммировать решение для целого класса задач, а не для какой-то конкретно одной.
*) Особо выделяются системы линейных уравнений. Это системы, в которых неизвестные находятся только в первом порядке (нет перемножения неизвестных и степеней выше первой), а также константы. Такие системы решаются точно. Обычно именно к ним сводятся физические задачи и задачи программирования. Именно на этих задачах, где число уравнений может быть равно десятками сотням тысяч, отрабатываются и используются скоростные методы преобразования матриц для скорейшего счета. А обычная подстановка неизвестных заняла бы недели для окончания расчетов.
Вся геометрия (планиметрия и стереометрия) сводится к ограниченному набору методов, которые можно запрограммировать и решать любые задачи. Главное – правильно понять и записать изначальные условия. Речь идет об аналитической геометрии, где изучается векторный анализ. В результате, школьная геометрия становится важной ступенькой для изучения математических методов, натаскивания интуиции, чтения условия и развития воображения. Но, пройдя по этой ступеньке, можно возвращаться к этим задачам уже с чисто алгоритмическим взглядом.
*) Если говорить число о планиметрии, то диагональные элементы матрицы задают растягивание (или сжатие) векторов вдоль осей координат, а недиагональные элементы описывают поворот этих векторов, а точнее сдвиг конца базисного вектора вдоль перпендикулярной оси координат. Определитель матрицы (детерминант) описывает множитель изменения площади параллелограмма, построенного на базисных векторах. Если определитель равен нулю, то это значит, что матрица не поворачивает плоскость, а сводит ее всю на одну линию, превращая базисные векторы из ортогональных в коллинеарные.
А где же матрицы в этом описании? А они находятся в умении работать с векторами. Операции по повороту, увеличению или уменьшению длины, нахождению углов между векторами или поиска площади параллелограммов, заданных векторами – и есть влияние матрицы на вектора (произведение матрицы на вектор) или выводятся из матриц, составленных из рассматриваемых векторов.
Сюда же входят физические задачи. Например, явление дрейфа электронов под действием электрического поля в перпендикулярном полю направлении. Такое явление происходит из-за интереснейших свойств среды, в которой двигаются электроны. Для записи таких явлений в уравнения записываются в матричном виде, где недиагональные элементы матрицы и описывают такие системы.
*) Такие уравнения называют тензорными. Тензор второго ранга можно записать в матричном виде. При перемножении тензора напряжений на вектор, описывающий направление деформаций, диагональные элементы тензора описывают деформации, возникающие в направлении приложенной силы. А недиагональные элементы тензора описывают деформации, направленные по осям, перпендикулярным направлению внешней силы.
Самое интересное в матрице то, что она не является числом, но при этом следует большинству правил, которым подчиняются числа. Правило умножения на константу, правило сложения, наличие единицы и нуля. Мы можем назвать числа всего лишь одним из видов матриц (размером один на один), а математику матрицы – расширением математики чисел. И такое расширение дало нам необычайно много. Матричная математика стала основной квантовой механики, а тензорная математика (можно сказать, идейное продолжение матричной математики) легла в основу общей относительности. Двух современных основ физики, расширившими ее применение и теоретические пределы далеко от границ известного в начале 20 века.
