О лохматых топологических ежах

Теплый летний вечер. Вы не спеша прогуливаетесь на свежем воздухе и слышите в траве негромкое фырчание и шорох. Конечно же, это ёжик – ни головы, ни ножек. При виде вас он сворачивается в колючий шар. Иголки торчат во все стороны, и вы никак не можете его погладить.

Вот бы можно было гладко причесать ежа! Так, чтобы все иголочки лежали ровно, по касательным.

Чтобы сберечь руки, потренируемся на помпоне. Возьмите любой волосатый шар и попробуйте пригладить мех так, чтобы он везде лежал гладко. Вы обнаружите, что это невозможно: как минимум одна волосинка будет торчать строго перпендикулярно поверхности (а в реальной жизни это будет целая меховая борода).

Можно сформулировать это научным образом: на сфере не существует непрерывного касательного векторного поля, которое нигде не обращается в ноль.

И вы не поверите, но эта настоящая теорема, которая так и называется: теорема о причесывании ежа!

Для начала, что такое векторное поле. По определению это “отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке”. В школе мы встречались с ним на уроках физики, изучая электричество и рисуя силовые линии электрического поля.

Если мы будем приглаживать волосатый шар, или раскрашивать елочный шарик гладкими последовательными мазками кисти, или чистить апельсин овощечисткой, резко не меняя направление среза, или оборачивать шар тканью – рано или поздно мы получим точку, в которой невозможно будет продолжить движение так, чтобы оно не оказалось встречным по отношению к предыдущему движению. Это и есть точка, в которой векторное поле обращается в ноль, торчит шерсть, встречаются мазки кисти, срезается последний кусочек кожуры, оборачивающая шарик ткань собирается в пучок.

Теорема о причесывании ежа является следствием теоремы о неподвижной точке, называемой также теоремой Брауэра, и формулируемой следующим образом:
любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Таким образом наш ёжик – это не более чем фырчащий, колючий, поедающий червей пример шара в трехмерном пространстве.

А знаете, что еще является таким шаром? Наша планета. И, согласно этой же теореме, существует хотя бы одно место на земле, в котором не дует ветер. Если сомневаетесь – можете попробовать нарисовать на глобусе такие направления ветров, которые не образуют ни одной неповижной точки. Кстати, при должном старании как при причесывании помпона, так и при рисовании на глобусе, у вас могут получиться “макушки”, в которых векторы идут по спирали, как торнадо. В таком случае неподвижная точка находится строго в центре этой спирали, что-то вроде глаза бури, центр циклона, место, где ветер стихает.

Кроме того, следствием теоремы Бауэра является следующее наблюдение:
если мы возьмем карту произвольной местности размерами, например, 1х1 м, и положим в случайном месте поверх нее такую же карту этой же местности, но размером 10х10 см, обязательно будет существовать такое место на маленькой карте, которое находится точно над этим же самым местом на большой карте.

Чтобы наглядно представить это и отбросить все сомнения, мы можем вообразить такой эксперимент: взять большую и маленькую карту, взять иголку с ниткой и нанизать на нитку карты, проколов на обеих иглой одну и ту же точку – например, улицу Ленина, дом 1. После этого, когда мы сдвинем карты вплотную и положим на стол, как бы мы ни вращали их относительно друг друга, места проколов всегда будут находиться одно над другим.

Чуть менее очевидным, но точно так же доказываемым, является и то, что если произвольно скомкать маленькую карту и бросить ее на большую, по-прежнему будет хотя бы одна точка на маленькой карте, находящаяся строго над такой же точкой на карте большой.

Еще один простой и наглядный пример.

Человек выходит из дома в 7 часов утра и идет в гору. В 7 часов вечера он достигает вершины. Переночевав там, в 7 утра следующего дня он пускается в обратный путь тем же маршрутом, и в 7 часов вечера приходит домой.
С какой бы разной скоростью он ни двигался на разных участках своего маршрута, где и какой продолжительности он ни делал привалы – все равно на маршруте будет точка, которую и в первый, и во второй день он прошел в точности в одно и то же время.

Чтобы убедиться в этом, “совместим” эти два дня – и увидим, что человек и идущий ему навстречу двойник из завтрашнего дня встретились в одной точке где-то на маршруте, и в момент встречи, очевидно, часы показывали одинаковое время.

Наука о глажке ежей, изучающая качественные свойства геометрических фигур, называется топологией. Она же позволяет, например, получить Премию тысячелетия от математического института Клэя за доказательство гипотезы Пуанкаре, если ты Григорий Перельман, или хотя бы поставить в соответствие каждой точке коровы (без технологических отверстий) топологически эквивалентный шар.

Кстати, волосатый бублик – это вам не ёж. И его вполне можно гладко причесать, то есть для тора существует непрерывное касательное поле, которое нигде не обращается в ноль. А как вы думаете, удастся ли этот фокус с кренделем?

На мой взгляд, это отличная тема для вечернего обсуждения за чашечкой чая с баранками и крендельками в кругу семьи или за кружкой пива с брецелями в теплой дружеской компании.

_____
[1] – ёж, обернутый векторным полем
[2] – векторное поле, без ежа
[3] – силовые линии
[4] – векторное поле, натянутое на шар
[5] – шар, топологически эквивалентный корове (осторожно, не подносите ежа!)

_____
В основном материалы для заметки были взяты из книги М. Гарднера “А ну-ка, догадайся!” Москва, МИР, 1984