Плотная упаковка сфер

Всем привет от прикладной математики и прочих наук! Сегоднящняя тема – плотная упаковка сфер, и рассказ будет на 146% слизан из разных педивикий и прочих интернетов, но написан он просто потому, что это всё пригодилось и дало +20% удобства.

Пчелы не дадут соврать, шестиугольники лучше квадратов. Там картинки – клёвые, смотрите их

Плотная упаковка равных сфер — такое расположение одинаковых неперекрывающихся сфер в пространстве, при котором занимаемая внутренними областями этих сфер доля пространства (плотность упаковки) максимальна. Также это задача комбинаторной геометрии о поиске такой упаковки.

Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая плотность упаковки в трёхмерном пространстве, которая может быть достигнута простой регулярной решёткой, равна примерно 0.74048 (формула на рис.3).

Эта плотность достигается в упаковках в гранецентрированную кубическую (ГЦК) и гексагональную плотноупакованную (ГП или ГПУ) решётки (рис. 1).
(Мое мнение: ГЦК и ГПУ – те же яйца, только в профиль; бешеные ученые посмотрели с разных сторон и взяли два разных куска одной и той же упаковки и назвали их разными словами. Возможно, иногда каждое из этих описаний оказывается удобнее другого)

Гипотеза Кеплера утверждает, что эта плотная упаковка сфер имеет наивысшую плотность среди всех возможных упаковок, регулярных и нерегулярных. Эту гипотезу доказал Т. К. Хейлз после многолетнего труда по программированию вычислений, необходимых для доказательства.

<Пространства иных размерностей>

Можно рассмотреть аналогичную задачу плотной упаковки гиперсфер (или окружностей) в евклидовом пространстве размерности, отличной от 3. В частности, в двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружён шестью другими (рис.2). Именно из таких слоёв построены ГЦК и ГП (ГПУ) упаковки. Плотность данной упаковки выше, чем у любых других способов. А стандартный способ упаковки по прямоугольникам даёт только π/4≈0,78 полезной площади, но это – к “замощениям”.

Паркет или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.
Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling), разбиениями плоскости (англ. partition), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высшихразмерностей часто называют сотами.

У Грюнбаума и Шепарда«Tilings and Patterns» (1987) находится следующее примечание: “В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение”.

Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.
(Все эти замощения с протоплитками прекрасно изменяются без потери свойств при помощи разных растяжений, сжатий, поворотов, превращающих, например, квадраты в прямоугольники или ромбы)