Теорема Брауэра. Математика и пиво
Ватсапп, КатСаентисты! Хочу рассказать вам, как минимум, о том, как связаны математика и пиво. Ну и теорема Брауэра. Гарантирую, что после прочтения заметки вы не сможете смотреть на бокал пива прежним взглядом.
ВСЕ ПЕЙТЕ ПИВО ПЕННОЕ – БУДЕТ ЖИЗНЬ ОТМЕННАЯ!
Вообразите себе шар, в котором расположены шарики поменьше, причем между ними не остается места, то есть они заполняют весь огромный шар целиком. Вы можете делать с большим шаром всё, что заблагорассудится: крутить, вращать, подбрасывать, пинать со всей силы, ̶ж̶а̶л̶о̶в̶а̶т̶ь̶с̶я̶ ̶е̶м̶у̶ ̶н̶а̶ ̶к̶о̶л̶л̶е̶г, но при любом раскладе окажется хотя бы один шарик, который останется на своем прежнем месте. Так звучит теорема Брауэра о неподвижной точке.
Вообще же, если немного углубляться в теорию, то неподвижная точка – это точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, это решение уравнения f(x) = x. С неподвижной точкой на плоскости все довольно элементарно: если график функции пересекает прямую y = x (то есть просто биссектрису 1 и 3 четвертей), то эти точки пересечения и называются неподвижными. Для наглядности прикрепляю пример с тремя неподвижными точками для заданной функции f(x). Но не у каждой функции есть неподвижная точка: например, y = -1/x – обычная гипербола – вообще лежит во 2 и 4 четвертях и неподвижных точек не имеет.
Вот с теоремой о неподвижных точках в пространстве несколько сложнее. Здесь намного легче посмотреть на практические примеры в окружающем мире. По аналогии с шаром из введения можно рассматривать любые объекты, плотно наполненные каким-либо составом. К примеру, если взять бокал пива и любыми методами помешать в нем жидкость (главное – не изменяя объема), то в любой момент времени у нас будет хотя бы одна молекула, которая осталась в том же положении в бокале, что и в первоначальный момент. Да, это действительно взрывает мозг, но так работает математика.
Вообще неподвижные точки играют большую роль в науке. Например, теорема Брауэра нашла применение в «теории критических явлений в связи с фазовыми переходами» американского физика Кеннета Вильсона. За свою работу он был удостоен Нобелевской премии по физике 1982 года.
Вот еще один пример: «Феноменально!» – должно быть, подумал Сидзуо Какутани (на минутку, японский математик) и обобщил результаты Брауэра в 1941 году, представляя миру новую теорему, которая позже была названа в его честь. В скором времени эта теорема была популяризирована известным математиком и экономистом Джоном Нэшем (единственным в истории человеком, получившим за жизнь Нобелевку за экономику и Абеля за математику). Если вы слышали о так называемом «равновесии по Нэшу», то знайте: в его описании тоже напрямую используется неподвижная точка.
Вашему вниманию предлагается демонстрация теоремы о вложенных компактах. Неожиданно? Но, как вы догадываетесь, и эта теорема напрямую связана с неподвижной точкой. Итак, представьте, что перед вами лежит карта, скажем, Москвы: замкнутая область, в нашем случае ограниченная МКАДом по периметру. И пусть у вас в руках будет та же карта – картинка, только уменьшенная во сколько угодно раз – это не имеет значения. На большую карту вы в любое место кладете маленькую (картинка №3) и обводите ее по периметру на крупной. Теперь на маленькой карте находите область, которая обведена на большой (окей, в нашем случае это делается на глаз), и обводите ее теперь уже на этой маленькой карте – картинке. Затем в этой области маленькой карты вы находите окрестность, которая только что была обведена, и стараетесь обвести ее внутри этой миниатюрной области. Поступая таким образом столько раз, сколько нам нужно для заданной точности, мы для удобства делаем отверстие в заданном участке (который в идеале стремится к точке – смотрим на картинку №4), и в результате получаем, что и большая, и маленькая карта проколоты в одном и том же географическом месте (в одинаковом районе или доме). И, как понимаете, такая неподвижная точка будет находиться всегда, независимо от масштабов наших карт и того, куда мы изначально положим маленькую карту.
В действительности примеров применения теорем о неподвижных точках очень много, и все вместе они мне напоминают сцену из фильма «Быть Джоном Малковичем», где главный герой в какой-то момент оказался внутри своего сознания и видел вместо людей лишь свои копии. Так же и здесь: вроде неподвижная точка одна, но проявляется в стольких вариациях, начиная от теоремы Брауэра и заканчивая теоремой о вложенных компактах, что голова идет кругом (прямо, кстати, как у героя кино в тот момент).
В итоге, дорогие друзья, хочется еще раз отметить: если вам кажется, что все меняется и что «как прежде уже не будет», помните, что какая-та часть «прежнего» навсегда останется жить в таком понятии, как неподвижная точка.
